Звездный каталог Улугбека был составлен к 841 году Хиджры, чему соответствует 1437 год от Рождества Христова и данная
дата не вызывает принципиальных разногласий и сомнений. Целью настоящего исследования является датировка звездного каталога
Улугбека [1] методом широтных невязок, которая с одной стороны, позволит независимо проверить традиционную дату составления
каталога, а с другой стороны, провести оценку точности метода датировки звездного каталога. Интересны вопросы, связанные с оценкой
точности вычисления центра датировки, погрешности датировки и устойчивости этих величин от количества и состава использумеых
для датировки быстрых звезд.
Частично, задача датировки каталога Улугбека методом широтных невязок была рассмотрена в работе [2], где авторами было
получено соответствие в пределах погрешности расчетной даты составления каталога и традиционной даты. Тем не менее,
логика проведенного исследования заключалась в возможности получения правильной датировки разных звездных каталогов на
одной заранее заданной выборке звезд, поэтому сформулированная нами задача является более полной.
Исследование ошибок в каталоге Улугбека
Начнем иследование с определения величин систематической и случайной ошибок измерения широт. Для этого, сравним широты звезд взятые каталога [1] с вычисленными широтами на общепринятую дату составления каталога 1437 год. Поскольку состав каталога Улугбека очень близок к составу Альмагеста, мы воспользовались данными работы [3], а все недостающая информация была взята из [4]. Принципиально, расчет эклиптических (экваториальных) координат звезд на заданную эпоху Т в достаточной мере описан в работе [5], а практический алгоритм расчета приведен в [6]. На основании этих данных нами был реализована программа програма [7], позволяющая вычислять координаты звезд в заданную историческую эпоху.
Вычислим эклиптические координаты звезд, которые содержатся в каталоге Улугбека на 1437 год и сравнив их с измеренными
координатами звезд каталога, определим широтные невязки для каждой звезды. Исключим из дальнейшего рассмотрения все звезды,
у которых абсолютные значения невязок превышают 120'. Кроме того, автоматически исключим из дальнейшего рассмотрения 27
южных звезд, которые по словам Улугбека были им заимствованы из работы ас-Суфи.
Для определения систематических ошибок построим зависимости распределения широтных невязок от долготы и
аппроксимируем полученное распределение ошибок функцией типа ΔSβ = γβ•sin(λ-φ)
откуда определим искомые значения γβ, φβ и погрешности к этим величинам. На рис.
1÷4 представлены аппроксимации широтных невязок выполненных для северных звезд, зодиакальных звезд и выборке
включающую все звезды каталога.
Рис. 1. Систематическая ошибка в широте определенная по множеству северных звезд.
Рис. 2. Систематическая ошибка в широте определенная по множеству зодиакальных звезд.
Рис. 3. Систематическая ошибка в широте определенная по южных звезд.
Рис. 4. Систематическая ошибка в широте определенная по множеству всех звезд.
При компенсации широтных ошибок получаем значение γ=-8.6 ±1.4 по северным звездам, γ=-9.8 ±1.7 по зодиакальным звездам и γ=-12.4 ±3.4 по южным звездам. Все три значения параметра γ близки по значению и соответствуют друг другу в пределах погрешности. Поэтому вполне корректным будет использование единого параметра определенного по полному множеству звезд, γ=-8.8 ±1.2. Значения фаз синусоид составляют φ=81 ±9 для северных звезд, φ=33 ±9 для зодиакальных звезд и φ=87 ±13. Таким образом, значение фаз вычисленные по северным и южным звездам находятся в соответствии друг с другом в пределах погрешности. Фаза определенная по множеству зодиакальных звезд отличается от двух предыдущих в меньшую сторону, что по всей видимости обусловлено относительно невысоким значением |γ|~9. При больших значениях γ изменение фазы в зависимости от выборки звезд было бы меньшим. Если считать, что реальная погрешность каждой из фазы составляет проядка 20 градусов, то полученные значения фаз будут примерно соответствовать друг другу. Значение фазы определенной по полному множеству звезд составляет φ=61 ±8, что недостаточно точно соответсвуют ни одному варианту.
Устраним систематические долготные и широтные ошибки с помощью компенсационной синусоиды, с параметрами γ и φ,
которые соответствуют множествам северных, зодиакальных и южных звезд. После этого определим остаточные ошибки в широтах
звезд и вычислим для каждой выборки среднеквадратичное значение ошибки. Для повышения точности определения ошибок измерения
необходимо устранить выбросы. Выбросом будем считать такое измерение, при котором значение невязки не укладывается в
удвоенный диапазон среднеквадратичной ошибки.
Повторяя всю процедуру расчета, определим значения среднеквадратичных ошибок, которые составят 20' в широтах северных и
зодиакальных звезд, и 23' в широтах южных звезд. Полученные значения среднеквадратичных ошибок измерения будут использованы
при вычислении датировки.
Предварительный отбор звезд
Проведем предварительный набор быстрых звезд для датировки каталога. Будем использовать все звезды абсолютная величина
широтной компоненты скорости которых превышает 0.6"/год. В результате получим множество из 19 самых быстрых звезд каталога
Улугбека, что позволит провести датировку с приемлемой точностью. При этом, результат датировки будет зависеть от частной
датировки по каждой звезде и в том случае, если звезда с быстрым собственным движением измерена с большой случайной ошибкой,
она может оказать довольно ощутимое влияние на датировку по полному множеству звезд. Поэтому, необходимо использовать некий
алгоритм для выявления "выбросов" - измерений проведенных с явно большой случайной ошибкой. Будем считать измерение координаты
"выбросом" в том случае, если значение широтной невязки отличается на предполагаемую дату составления каталога от средней
широтной невязки окрестности на 3σ, где σ есть случайная ошибка измерения. В качестве окрестности быстрой звезды
будем использовать окрестность из шести ближайших к ней звезд, а среднюю ошибку окрестности определим по медиане. Поскольку,
величина случайной ошибки измерения уже была определена ранее и составляет σ=21', нам будет необходимо исключить из
рассмотрения все быстрые звезды широтные невязки которых отличаются от широтных невязок окрестности более чем на 63'.
После того как методика отбора сформулирована, выпишем широтные невязки быстрых звезд и средние невязки их окрестностей.
В представленной таблице зеленым цветом обозначены разности невязок Δβзвезды-<Δβокрест>,
которые укладываются в доверительный интервал погрешности σ, оранжевым в 2σ и красным цветом отмечены разности
невязок превышающие 2σ.
| Звезда | Δβзвезда | <Δβокрест> | Δ |
| ο2 Eri | 23 | -97 | 120 |
| α Boo | 11 | -2 | 13 |
| τ Cet | -26 | -33 | 7 |
| 61 Vir | 27 | -7 | 34 |
| α CMa | -2 | -1 | -1 |
| 36 Oph | 9 | -14 | 23 |
| γ Ser | -14 | -19 | 5 |
| α CMi | -6 | -19 | 13 |
| η Cas | -38 | -26 | -12 |
| 70 Oph | -10 | -7 | -3 |
| θ UMa | -14 | -4 | 10 |
| μ Her | 31 | -2 | 33 |
| χ Her | -2 | 0 | -2 |
| ξ UMa | -4 | -2 | -2 |
| η Ser | -18 | -20 | 2 |
| δ Eri | -144 | -90 | 54 |
| δ Lep | 6 | -14 | 20 |
| θ Cen | -1 | -15 | 14 |
| δ Tri | -11 | -29 | 18 |
В 14 из 19 окрестностях (74% случаев) разницы широтных невязок быстрой звезды и её окрестности попадают в доверительный
интервал σ, которому соответствует значение ошибки измерения 21'. В трех окрестностях разницы невязок укладываются в
доверительный интервал 2σ. В окрестности δ Эридана разница широтных невязок попадают только в интервал 3σ,
а в окрестности ο2 Эридана даже превышает это значение, поэтому эти звезды следует исключить из выборки.
Исключение далеко не самой быстрой δ Эридана не является большой потерей, чего нельзя сказать об ο2
Эридана, которая является самой быстрой звездой каталога. Для того, чтобы ο2 соответствовала окрестности
окружения при ширине доверительного интервала 3σ, необходимо удревнить дату составления каталога примерно на 1200 лет.
Впрочем, вопрос относительно отождествления ο2 Эридана интересн с методической точки зрения, поэтому
заслуживает отдельного внимания.
Отождествление звезд 776 и 777 каталога Улугбека
Прежде всего, составим карту окрестности ο2Эридана в эклиптических координатах, рис.4. Расчетные положения звезд обозначены зелеными кружками, полыми красными окружностями отмечены положения соответствующих звезд в каталоге Улугбека.
Рис. 5. Карта окрестности ο2Эридана.
Из представленного рисунка следует, что рассматриваемый фрагмент созвездия Эридана измерен по широте с очень большими ошибками. Наименьшими невязками обладают звезд ν, μ и ο2, но вместе с этим, широтные невязки оставшихся пяти звезд окрестности очень велики. Вероятно, звезды ξ, π и δ по значениям широтной невязки могут быть отнесены в единую окрестность, однако значения широт ο1 и γ будут являться выбросами. Несмотря на то, что положение ο2 в каталоге Улугбека достаточно неплохо соответствует расчетным данным, невязки координат звезды должны соответствовать окрестности из ближайших звезд ξ и ο2 Эридана, однако подобного соответсвия нет, что наводит на мысль о возможности ошибочности отождествления звезды 776 со звездой ο2 Эридана.
| Звезда | Δλ•cosβ | Δβ |
| μ Eri | 30 | 1 |
| ν Eri | 17 | -49 |
| ξ Eri | -7 | -203 |
| ο2 Eri | 5 | 23 |
| ο1 Eri | 6 | -344 |
| γ Eri | 34 | 335 |
| π Eri | 23 | -125 |
| δ Eri | 11 | -144 |
Заметим, что в трех градусах южнее ο1 и ο2 Эридана на той же долготе, расположена звезда 39 Эридана, которая имеет примерно такой же блеск MV=4.87m как и эти звезды. Попробуем отработать различные варианты отождествления звезд 776 и 777 каталога Улугбека со звездами ο1, ο2 и 39 Эридана.
Варианты отождествления 777 |
||
| ο1 Eri | 6 | -344 |
| ο2 Eri | -61 | -314 |
| 39 Eri | 10 | -136 |
Варианты отождествления 776 |
||
| ο1 Eri | 5 | 23 |
| ο2 Eri | 73 | -8 |
| 39 Eri | 74 | 200 |
При исключении из окрестности звезд ο1 и ο2 Эридана отождествление которых мы
ставим под сомнение, медианная ошибка окрестности составит
+20' по долготе и -87' по широте. Звезда 777 с большой долей вероятности должна быть отождествлена со звездой 39 Эридана.
В этом случае широтная невязка звезды 777 составит -136' и будет соответствовать невязкам ближайших звезд окружения: ξ,
π δ. Кроме того, незначительно улучшится соответствие долготной невязки окрестности.
Это предположение косвенно подтверждается птолемеевским словесным описанием положения звезды, которым пользовался Улугбек
при идентификации звезд. 775 - задняя из трех звезд после них, 776 - средняя из них, 777 - передняя из этих трех звезд.
В эпоху Улугбека ο1 и ο2 Эридана сблизились друг с другом, и поэтому, если
ξ Эридана считать "задней звездой", то выбрать "среднюю" и "переднюю" звезды из пары ο1 и
ο2 довольно проблематично. Однако, при отождествлении 776=ο1+ο2
и 777=39 Eri затруднение исчезает.
Если отождествить 776=ο1 получим разницу невязок звезды и окрестности по долготе около +52', что
формально попадает в интервал 3σ, и не попадает в 2σ, хотя непопадание небольшое. Широтная невязка по-прежнему не
будет соответствовать невязке окрестности, хотя величина невязки снизится на полградуса. Получается, что при любом
отождествлении 776 соответствие по широте будет плохое, а по значению долготной невязки лучше подходит ο2.
С другой стороны, видимый блеск ο1 на половину звездной величины превышает блеск ο2,
а поэтому вероятнее, что из этой пары Улугбек выбрал более яркую звезду.
Выводы.
1. Идентификация звезды 776 каталога Улугбека с ο2 Эридана является неоднозначной, а
звезда 777 по-видимому должна быть отождествлена не со звездой ο1, с 39 Эридана.
2. Средние ошибки широтных невязок в окрестностях звезд ο2 (если её отождествление можно
считать надежным) и δ Эридана в разы превосходят значение случайной ошибки измерения, поэтому должны быть исключены из
дальнейшего рассмотрения.
Датировка звездного каталога
Таким образом, мы вычислили параметры компенсационной синусоиды по множеству северных, зодиакальных, и южных звезд,
определили величину средней случайной ошибки измерения по полному множеству звезд, и предварительно отобрали 17 самых
быстрых звезд каталога Улугбека для процедуры датировки.
Из отобранных быстрых звезд 11 звезд относятся к северным (α Boo, 36 и 70 Oph, γ и η Ser, η Cas, θ
и ξ UMa, μ и χ Неr, δ Tri), пять к южным (&tau Cet, α CMa, α CMi, δ Lep, θ Cen) и
одна звезда (61 Vir) принадлежит к множеству звезд, составленному из зодиакальных созвездий. Для вычисления систематических
ошибок воспользуемся индивидуальными значениями γ и φ, которые были вычислены для каждого множества звезд.
Кроме того, до настоящего момента времени задача отбора звезд для датировки была решена лишь частично, поскольку требование
соответствия широтной невязки звезды и её окрестности в пределах 2σ является необходимым критерием отбора, но не
достаточным. Помимо этого, необходимо проследить, чтобы локальная групповая ошибка окрестности звезд сравнения соответствовала
широтной ошибке компенсационной синусоиды на данной долготе. Случай, когда указанные величины не соответствуют друг другу
означает, данная окрестность имеет индивидуальную групповую ошибку, которая не соответствует компенсационной синусоиде.
Поэтому в методе широтных невязок быстрая звезда из такой окрестности не может быть использована для датировки. Таким образом,
из оставшихся 17 звезд, необходимо исключить все звезды, широтные ошибки которых не соответствуют компенсационной синусоиде.
Вычислив систематическую ошибку на долготе каждой быстрой звезды расчитаем датировки и погрешности к датировкам, которые
определим как отношение усредненной ошибке измерения по широте к абсолютной величине проекции скорости звезды по широте.
| Звезда | Δβзвезда | <Δβокрест> | Δсист | Датировка | Погрешность |
| α Boo | 11 | -2 | -7.9 | 985 | 555 |
| τ Cet | -26 | -33 | 13.8 | -50 | 865 |
| 61 Vir | 27 | -7 | -2.7 | 325 | 995 |
| α CMa | -2 | -1 | -2.3 | 1415 | 1090 |
| 36 Oph | 9 | -14 | -1.3 | 1050 | 1045 |
| γ Ser | -14 | -19 | -5.4 | 1760 | 1090 |
| α CMi | -6 | -19 | 1.3 | 1530 | 1105 |
| η Cas | -38 | -26 | 6.5 | 5300 | 1140 |
| 70 Oph | -10 | -7 | 0.5 | 1830 | 1280 |
| θ UMa | -14 | -4 | -5.5 | 2450 | 1430 |
| μ Her | 31 | -2 | -0.5 | -90 | 1620 |
| χ Her | -2 | 0 | -6.8 | 2590 | 1620 |
| ξ UMa | -4 | -2 | -8.2 | 990 | 1735 |
| η Ser | -18 | -20 | 1.8 | 2470 | 1855 |
| δ Lep | -14 | 6 | 1.1 | -20 | 2120 |
| θ Cen | -1 | -15 | -9.0 | 2125 | 1940 |
| δ Tri | -11 | -29 | -7.9 | 2330 | 1955 |
Из представленной таблицы следует, что окрестность звезды τ Кита, вычисленная при числе звезд сравнения
Nref=6 не соответствует систематической широтной ошибке в пределах величины 2σ, которая составляет
для южных звезд 46'. Та же самя картина наблюдается при другом числе звезд сравнения, например, Nref=8,
поэтому данная звезда должна быть исключена из процедуры датировки.
Датировка полученная по звезде η Кассиопеи не соответствует дате традиционной составления каталога при ширине
доверительного интервала 3σ. Широтная ошибка звезды вроде бы соответствует широтной ошибке ближайшей окрестности,
а сама ошибка окрестности укладывается вместе с систематической ошибкой в интервал 1.5σ. Тем не менее, широтная
ошибка звезды не соответствует значению систематики при ширине доверительно интервала 2σ, что при высокой величине
проекции скорости звезды и приводит к наблюдаемому эффекту. В том случае, если бы скорость звезды была вдвое меньше, или
меньше была бы разность невязки звезды и систематической ошибки, датировка по звезде η Кассиопеи соответствовала бы
в пределах погрешности дате составления каталога. Однако, в данном случае, такого соответствия нет, поэтому звезду η
Кассиопеи необходимо исключить при вычислении датировки каталога.
Воспользуемся оставшимися 15 звездами для вычисления датировки. При датировке по полному множеству звезд будет получена дату
1235 ±300, которая в пределах погрешности соответствует дате составления каталога. Можно отдельно вычислить
датировки по множеству северных и южных звезд, 1360 ±360 и 1245 ±710. Отметим, что датировка по южным звездам
имеет погрешность около 7 веков. Столь высокая величина погрешности объясняется двумя факторами: при датировке было
использовано всего четыре звезды; более высоким значением величины случайной ошибки измерения для южных звезд.
Для полноты картины исследуем зависимость полученной датировки от звезд, которые дают в неё наибольший вклад. Для этого,
исключим из расчета звезды, которые имеют наименьшую погрешность датировки и наиболее сильно на нее влияют. При
последовательном удалении из выборки α Волопаса, 61 Девы и 36 Змееносца будут получены даты 1345 ±360,
1520 ±390 и 1595 ±420.
Отметим, что определить дату составления каталога с точностью до тысячелетия можно даже по трем наиболее
ярким звездам Сириусу (-1.46m), Арктуру (-0.04m) и Проциону (0.38m):
1135 ±450 лет.
В работе [8], при датировке звездного каталога Улугбека "коллективным методом" А.К. Дамбиса и Ю.Н. Ефремова нами был получен результат согласно которому, центр датировки по широтам Tβ оказывался удревненным на 350÷500 лет относительно традиционной даты составления каталога. Более того, положение центра датировки существенно не изменяется при исключении восьми звезд каталога, с наиболее большими проекциями скоростей по широте, рис. 6.
Рис. 6. Усточивость коэффициентов наклона регрессий Tλ, Tβ при исключении быстрых звезд каталога.
Проведенная независимая датировка каталога методом широтных невязок показала, что никакого смещения центра датировки при использовании широт в каталоге Улугбека нет. На разной выборке быстрых звезд можно получить разные даты составления каталога, одни из которых окажутся слегка "удревненными", другие "омоложенными", но все они будут соответствовать в пределах погрешности традиционной дате составления каталога. С другой стороны, этот тезис подтверждается тем фактом, что датировки по отдельным звездам распределены примерно равномерно (7 более древних и 8 более молодых дат) относительно даты составления каталога. Таким образом, проведенная проверка с помощью метода широтных невязок ещё раз подтверждает несостоятельность используемой А.К. Дамбисом и Ю.Н. Ефремовым "коллективного метода" датировки.
Заключение
1. Датировка каталога Улугбека методом широтных невязок позволяет установить, что каталог был составлен в
середине второго тысячелетия нашей эры. Для получения этого результата достаточно воспользоваться выборкой из 15 наиболее
быстрых звезд каталога. Для датировки каталога с точностью до тысячелетия оказывается достаточным использование трех
быстрых звезд, которые являются одними из самых ярких звезд земного неба α Большого Пса, α Волопаса и α
Малого Пса.
2. Проведенная проверка с помощью метода широтных невязок ещё раз подтверждает несостоятельность
используемой А.К. Дамбисом и Ю.Н. Ефремовым метода датировки.
Литература
1. Улугбек Зидж (под редакцией А. Ахметова), Ташкент, 1994.
2. В.В. Калашников, Г.В. Носовский, А.Т. Фоменко Датировка звёздного каталога «Альмагеста». Статистический и геометрический анализ, Москва, Факториал, 1995
3. Звездный каталог Альмагест на страничке А.И. Захарова.
4. Центр астрономических данных в Страсбурге.
5. В.Е. Жаров Сферическая астрономия, Москва, 2002.
6. O. Montenbuck, T. Peleger Astronomy on the Personal Computer, Springer, 2003.
7. Программа kvadrant.
8. Датировка каталога Улугбека методом Дамбиса-Ефремова.
