Птолемей называет звезду №527 двойной, причем делает это единственный раз, хотя в каталоге содержится не мало ярких двойных звезд: известная пара Мицар и Алькор z и 80 Большой Медведицы (Байли №34) с угловым расстоянием 12',a¹ и a² Козерога (Байли №601) - 6', m¹ и m² Скорпиона (Байли №558) - 6', q¹ и q² Тельца (Байли №392) - 6' и т.д. Ни одна из этих звезд не названа двойной, хотя человек с нормальным зрением способен разрешить угловой интервал в 1'.
Поэтому, название "двойная" для ничем не примечательной пары звезд 61+63 Девы выглядит очень странным. Кроме того, во время Гиппарха расстояние между этими звездами было 30', а во время Птолемея - 34', что превышает величину лунного диска. Такое угловое расстояние без проблем можно было бы измерить с помощью астролябии Птолемея, цена деления которой составляла 10'. Например, звезды l и u Скорпиона (Байли №565 и 566) Разделены угловым расстоянием 37', а звезды h и d Ворона 39'.
Этому можно дать два объяснения.
1) В словесном описании произошла ошибка. Двойной названа пара звезд 55+57 Девы, которые расположены чуть к югу и имеют примерно одинаковый блеск. Расстояние между этими звездами составляет около 14', поэтому вполне логично назвать такую звезду двойной и не определять положение второго компонента. Причина возникновения ошибки вполне понятна - эта область звезд была неаккуратно и не в полном объеме промерена, затем, была произведена оценка блеска, при которой звезды могли быть перепутаны, и наконец, было дано не точное словесное описание. Но почему Птолемей называет именно эту пару двойной непонятно.
2) Птолемей сознательно измерил координаты именно 63 Девы и сделал уникальное словесное описание специально, для выделения более тусклого компонента двойной. Такая выделенность 63 Девы имеет единственную причину - эта звезда присутствует у Гиппарха, когда тот доказывая неподвижность звезд, приводит описание положений некоторых звезд, расположенных на одной прямой: 69-63-57. Однако, ни 69, ни 57 Девы в каталог почему-то не попали.
Таким образом, идентификация звезды №527 является не однозначной, а в координатах звезд ее окрестности присутствуют значительные ошибки.

М.Л. Городецкий заявляет, что для определения датировки он использует разработанный КНФ метод широтных невязок, однако, при ближайшем же рассмотрении, оказывается что это не так. Для выявления различий, кратко изложим суть метода широтных невязок.
Сначала, КНФ подробно занимаются изучением систематических ошибок каталога. Систематические ошибки измерения координат звезд складываются из инструментальной погрешности изготовления астролябии и неправильной установки ее полярной оси на ось мира. Причина появления инструментальной систематической ошибки, которую вносит в измерения астролябия, состоит в отличном положении эклиптик прибора и реального неба, что проявляет себя в систематической широтной ошибке для всех звезд, которая является функцией долготы. Поскольку эклиптика в Альмагесте имеет больший угол наклона чем расчетная эклиптика, это приводит к удревнению возраста каталога при попытке его датировки без учета инструментальной ошибки.
Неточность настройки полярной оси астролябии на полюс мира, приводит к дополнительным широтным ошибкам, которые выражаются в размывании синусоидальной широтной ошибки, построенной по всем звездам и удревнению или омоложению датировки возраста каталога.

В результате анализа ошибок, КНФ выделяют семь областей с разными ошибками и отличным наклоном полярной оси. Область "М" представляет собой Млечный Путь, который разбивает звездное небо на две части; область "A" включает себя часть северных звезд, расположенных Млечным Путем; ниже "А" находится зона, составленная лишь из зодиакальных созвездий, которая обозначена через "ZodA". Наконец, область, находящаяся под "zodA" и состоящая из южных звезд, была обозначена областью "C". По аналогии, область северных, зодиакальных и южных звезд над Млечным Путем получили соответственно названия "B", "ZodВ" и "D", рис. 4.

Рис.4 Семь областей неба и ошибки полярной оси.

Далее, для каждой из семи областей производится коррекция на разное положение эклиптик. Она осуществляется с помощью синусоиды, которая была обнаружена Петерсом при исследовании ошибок звездного каталога Альмагест [4]. Компенсационная синусоида имеет вид Δb =γ*sin(L+φ), где Δb - широтная ошибка, L - долгота звезды, γ φ - амплитуда и фаза синусоиды. Параметры синусоиды зависят от предполагаемого времени составления каталога и определяются для каждой зоны неба из минимума функции остаточной среднеквадратичной ошибки S[γ(t), φ(t)]->min.
После, компенсации в каждой области инструментальной ошибки, КНФ определяют остаточные среднеквадратичные погрешности измерения координат звезд:

Наиболее точно измерены в Альмагесте звезды из области неба "ZodA". Это видно из того, что компенсация обнаруженной систематической ошибки для этой группы звезд позволила снизить среднеквадратичную ошибку до 12.8'. При этом оказалось, что около 64% звезд получили после компенсации широтную невязку менее 10'.
Следующей по точности группой звезд в Альмагесте является область "A". Там среднеквадратичная широтная невязка снизилась после устранения систематической ошибки до 16.5'. При этом число звезд, имеющих широтную невязку меньше 10', возросло в этой области более чем до 50%.
Следующими по точности измерений оказываются группы звезд Альмагеста в частях неба "B" и "ZodB". Их точностные характеристики весьма близки. Остаточная среднеквадратичная ошибка равняется приблизительно 19'. Звезды с широтной невязкой меньше 10' составляют около 44% в этих группах. Положения полюса эклиптики, определяемые по этим частям неба в Альмагесте хотя "на глаз" и близки к положениям полюса для "A" и "ZodA", но попадают в соотвествующие доверительные полосы лишь при достаточно малых значениях p=0.01. Это означает, что систематические ошибки в областях неба "B" и "ZodB" могут отличаться от ошибок в областях неба "A" и "ZodA". Кроме того, в частях неба "A" и "ZodA" звезды измерены существенно точнее, чем в областях неба "B" и "ZodB".
Звезды в областях неба "C", "D", "М" измерены в Альмагесте хуже, чем в частях неба "A" и "B".

Для датировки каталога КНФ выделяют наиболее точно промеренные области "А"+"ZodA". Далее, авторы исследуют локальные групповые ошибки координат в небольших окрестностях, которые вызваны неточной установкой астролябии по опорной звезде. Расчет показал, что наиболее точно были измерены координаты ярких именных звезд. Из этих звезд КНФ составили "информационное ядро" звезды которого имеют погрешности измерения широт не более 10'. Датировка каталога была определена по движению звезд "информационного ядра".

М.Л. Городецкий действует совсем иначе. Не занимаясь исследованием систематической ошибки, вызванной различной ориентацией полярной оси в разных областях неба, он сразу же начинает искать параметры компенсирующей синусоиды, которая строится по всем северным и зодиакальным звездам на временном интервале [-10;+20] веков. Параметры синусоиды Петерса γ и φ существенно зависят от даты составления каталога. В статье М.Л. Городецкого отсутствует какая либо информация о вычислении параметров синусоиды и определении алгоритма расчета широтных поправок dB, с помощью которых проводится компенсация систематической ошибки. Однако автор предоставил результаты своих расчетов синусоиды Петерса, который приведен на рис.5.

Рис.5 Зависимость параметров синусоиды Петерса γ(t) и φ(t) согласно расчету М.Л. Городецкого.

Остановимся сначала на процедуре расчета широтных поправок. Если КНФ выбирают параметры синусоиды из минимума функции среднеквадратичной ошибки S[γ(t), φ(t)]->min на всем временном интервале, и используют фиксированные значения этих параметров для всех звезд, по которым производится датировка, то М.Л. Городецкий для каждой звезды определяет параметры синусоиды на момент времени, когда ее широтная ошибка равна нулю. Это значит, что для каждой быстрой звезды используется отдельная компенсирующая синусоида с своими значениями γ(t), φ(t).
Это очень странная и сомнительная методика попытка устранения приборной ошибки, поскольку цель использования синусоиды Петерса состоит в учете систематической ошибки обусловленной не точным изготовлением прибора. По причине эффекта планетной прецессии широты звезд изменяются со скоростью около 8' за 1000 лет, поэтому положение эклиптик. Что именно по замыслу автора должны компенсировать широтные поправки координат звезд, рассчитанные для разных веков, понять очень сложно. Компенсирующая синусоида, составленная по методике М.Л. Городецкого не может устранить инструментальную ошибку прибора, и кроме того, даже правильно составленная синусоида в принципе не в состоянии скорректировать другие ошибки, связанные с различным наклоном полярной оси в разных областях или устранить локальную групповую ошибку в широте. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен чуть ниже.

Но сначала, можно установить какой из "стационарных" синусоид Петерса, т.е. с одинаковыми параметры γ(t) и φ(t) для всех звезд, соответствуют широтные поправки, которые использует М.Л. Городецкий. Это не так сложно определить, поскольку в нашем распоряжении есть датировки, посчитанные на программах автора с коррекцией систематической ошибки и без нее. Проще всего найти широтную поправку dB с помощью простого подбора. Для этого, для каждой звезды определим ее поправку dB к широте, приведенной в Альмагесте таким образом, чтобы нулевая широтная невязка соответствовала датировке М.Л. Городецкого.

Где (1) - датировка определенная без учета систематической ошибки, (2) - датировка, приведенная в [1] с учетом систематической ошибки, dB - значение поправки в минутах для компенсации систематической ошибки. Зная набор широтных поправок dB для из тринадцати звезд, составим зависимость dB(L) от долготы L, а затем обработаем в программе Origin с помощью функции "fit".

Рис.6 Аппроксимация вычисленных широтных поправок с помощью синусоиды Петерса. Параметры получившейся синусоиды соответствуют в пределах погрешности семейству "стационарных" синусоид [-10;-5] веков, вычисленных М.Л. Городецким.

На рис.6 представлена оптимальная аппроксимация параметров компенсирующей синусоиды, которая была вычислена в Origin-е. Параметр γ=15.88' соответствует -6 веку, значение фазы φ=-34 не соответствует ни одному вычисленному значению фазы на рассматриваемом интервале времен [-1000; 2000]. Ближайшее по величине значение фазы φ=-34, которое находится в пределах погрешности определения фазы, относится -10 и 19 векам. Это значит, что пара значений [γ; φ] в пределах погрешности каждой из величин соответствует временному интервалу [-1000;-500]. В данном случае, оба параметра действуют в сторону удревнения датировки. Поскольку параметр γ оказывает более слабое влияние на датировку, чем фаза синусоиды φ, можно утверждать, что в расчете используется "стационарная" синусоида, соответствующая -10, -9 векам.

Теперь, проведем простое сравнение насколько хорошо компенсируют систематические ошибки методики, которые используют КНФ и М.Л. Городецкий. Делается это очень просто.
Сначала, определим остаточные ошибки по КНФ. Для каждой быстрой звезды составим окрестность, состоящую только из звезд созвездия, которому принадлежит рассматриваемая звезда и которые удалены от быстрой звезды менее чем на 9 градусов. Столь жесткие критерии составления окрестности необходимы для исключения локальных групповых ошибок, которые могут иметь удаленные звезды рассматриваемого созвездия и звезды других созвездий. При этом, составленная окрестность не должна содержать ненадежно идентифицируемые звезды, или звезды, широты которых измерены с большими ошибками.
После составления окрестности, вычислим групповые широтные ошибки в окрестностях быстрых звезд на 950 год, центр датировки каталога по КНФ, вычтем из них значения широтных поправок при γ=21 и φ=0 и получем остаточную ошибку.

(1) - номер по Байли, (2) - название по Байеру, (3) - долгота звезды, (4) - ошибка в окрестности из медленных звезд, определенная по среднему и медиане, (5) - широтная поправка на данной долготе, (6) - остаточная ошибка в окрестности при ошибке, вычисленной по медиане, (7) - число звезд в окрестности, (8) - радиус окрестности при данном числе звезд, в скобках указан радиус окрестности при добавлении в нее следующей ближайшей звезды.

Заметим, что количественный состав окрестностей получился неравнозначным. Так окрестности ξ Uma и η Ser состоят всего из одной звезды сравнения, поэтому вычисленные ошибки для этих звезд являются не надежными. Кроме того, значения погрешностей ошибок для каждой окрестности могут значительно отличаться, однако в данном исследовании, знание погрешностей ошибок не является необходимым.
Из таблицы видно, что на долготах звезд 180, 360 и 196 наблюдается самая большая остаточная ошибка, но эти все эти звезды не входят в область "А"+"ZodA", поэтому систематическая ошибка компенсируется там не правильно. Звезда δ Треугольника принадлежит области "B", а η Кассиопеи и ι Персея относятся области "М". Хотя остаточные ошибки звезд 70 Oph и η Ser не велики и укладываются в 2σ, они принадлежат к области Млечного Пути, поэтому остаточная ошибка в этих областях может отличаться от ошибок в области "А"+"ZodA". Семь оставшихся звезд принадлежат области "А"+"ZodA" и в 5 случаях из 7 остаточная ошибка звезд окрестности составляет менее 10'. Из этих звезд КНФ используют для датировки только Арктур, который является единственной именной звездой.

Теперь посмотрим насколько хорошо устраняются систематические ошибки при методике расчета по М.Л. Городецкому. Для этого, определим остаточные ошибки в окружениях всех быстрых звезд, которые используются в расчете. Вычислим значение широтной ошибки по среднему и по медиане в каждой окрестности на дату, когда быстрая звезда проходит нуль по широтной невязке.

(1) - номер по Байли, (2) - название по Байеру, (3) - долгота звезды, (4) - датировка по быстрой звезде, (5) - остаточная ошибка в окрестности из медленных звезд, определенная по среднему и медиане, (6) - число звезд сравнения в окрестности, (7) - радиус окрестности при данном числе звезд, в скобках указан радиус окрестности при добавлении в нее еще одной ближайшей звезды.

В секторе долгот [13;32] градусов остаточные ошибки в окрестностях, составленных из медленных звезд не скомпенсированы: невязки окрестностей около ι Персея и η Кассиопеи составляют -35'÷39'. Это означает, что при используемом М.Л.Городецким стандартном отклонении в 18', остаточные ошибки превышают уровень 2σ и датировки по этим звездам являются заведомо неправильными. Несмотря на то, что остаточная ошибка в окрестности δ Треугольника вроде бы попадает в одно стандартное отклонение, систематическая ошибка в этой области долгот компенсирована не правильно. Чтобы в этом убедиться, определим датировку по звезде β Кассиопеи, которая обладает скоростью примерно такой же, что и ι Персея и удалена по долготе от уже рассмотренной звезды η Кассиопеи всего на 5 градусов. Без учета систематической ошибки будет получена датировка -4131 годом. В соответствии с методикой М.Л. Городецкого вычислим значения параметров γ(t) и φ(t) при t=-4131 и определим широтную поправку, которая составит dB=-22'. Полученная широтная поправка для звезды β Кассиопеи весьма существенно (на 14') отличается от определенной ранее поправки для звезды η Кассиопеи, dB=-8'. Конечно же, этот результат не означает, что в относительно компактном созвездии Кассиопеи присутствуют сразу две систематики, просто предлагаемая М.Л. Городецким методика расчета не в состоянии корректно компенсировать систематическую ошибку даже для одного созвездия.

КНФ смогли придумать только одну причину [появления синусоидного распределения] — неточная ориентация полюса эклиптики. Однако такое элементарное объяснение не проходит из-за кинематических связей. При этом наблюдаемой фазе широтных синусоид в десятки градусов должна соответствовать гигантская ошибка такого же порядка в долготах. Впрочем, КНФ долготы игнорируют и поэтому для них это не является препятствием. Кроме того, порядок ошибок в положении точки весеннего равноденствия (около 1 градуса) и наклона эклиптики (около 10') можно установить из текста Альмагеста независимым образом.

На самом деле, синусоидальная ошибка может возникнуть по техническим причинам - неточным изготовлением самой астролябии и неточным ее наведением на полюс мира. Этих двух причин волне достаточно для появления наблюдаемой синусной ошибки и в широтах, и в долготах [4]. Кроме того, второй фактор, "разное наведение прибора на полюс мира" приводит к появлению существенно разных систематик, которые наблюдаются в зонах "A", "B", "C" и "D". Удивительного в этом так же ничего нет - настройка прибора со временем может сбиться и есть масса причин для этого.
Примечательно заявление автора "о наблюдаемой фазе широтных синусоид в десятки градусов". Значения фазы действительно получаются около -10÷-30 градусов в разные века и по разным звездам, однако точность определения фазы составляет все те же 20-30 градусов! Похожая картина наблюдается в долготах - значение фазы получаются около нуля, но ее погрешность такая же. Далее М.Л. Городецкий совершенно справедливо уточняет величину фазы по долготе, связывая ее с положением точки весеннего равноденствия. Но очевидно, что если реальная ошибка в долготе составляет около градуса, то и реальная широтная ошибка в фазе не сильно отличается от этой величины, поэтому, использование КНФ нулевой фазы синусоиды полностью обоснованно.

Итак, проверка показала, что метод вычислений систематических ошибок, который применяет М.Л. Городецкий методологически не правилен, что не может не сказываться на конечном результате датировки каталога.

Наконец, кратко прокомментируем датировку, полученную по расширенной выборке из 119 звезд каталога, куда были включены южные звезды. Здесь есть два существенных момента, на которые мы хотим обратить внимание.
Во-первых, в датировке по расширенной выборке автор использует южные звезды. К сожалению, процедура расчета и определения систематических ошибок для южных звезд в статье не описана. В частности, точно не сообщается по каким звездам была рассчитана синусоида Петерса для проведения этой датировки. Была ли это отдельная синусоида, определенная только по южным звездам, или это был отдельный расчет, где компенсирующая синусоида строилась сразу по всем звездам северного и южного неба. Судя по тому, что автор использует для северных и южных звезд две разные погрешности в 18' и 25', можно предположить, что компенсирующая синусоида по южным звездам определялась в отдельном расчете и все южные звезды были объединены в одну группу. Однако, южным звездам соответствуют области "C"и "D" в которых положение полярной оси различается очень существенно, рис. 4, поэтому объединение этих областей в одну неизбежно приводит заведомо неправильным параметрам компенсирующей синусоиды, и как следствие к неправильным широтным поправкам и к резкому возрастанию погрешности.

Во-вторых, в расширенной датировке автор использует звезды, скорость которых составляет более 5' за 2000 лет, или 0.15"/год.

На самом деле, если быть совсем строгим, то я не учитывал самые медленные звезды, которые передвигаются за всю эпоху возможной датировки на величину меньшую ошибки округления — на 5' за 2000 лет, они могут наоборот ухудшить оценку.

Поскольку нам необходимо установить датировку каталога с точностью хотя бы до 1000 лет, медленные звезды переместятся за этот временной интервал всего на 2.5' при стандартной ошибке в 18' для северных и зодиакальных звезд, ошибке в 25'для южных звезд. Поэтому, "датирование" каталога по медленным звездам является подменой датировки по собственному движению звезды, "датировкой" групповых ошибок и случайных ошибок измерения в той или иной области. Такая датировка бессмысленна.

В статье М.Л. Городецкого Арктуру посвящена отдельный параграф под названием "Этот «особенный» Арктур", где автор пространно рассуждает на тему получения античных и средневековых датировок по этой звезде. Причина такого исследования понятна. Сначала автор как бы "демонстрирует", что датировка КНФ строится по одному Арктуру, а затем показывает, что по этой звезде можно получить античную дату в начале века.

Может возникнуть некоторое недоумение: как Арктур позволяет получить одновременно и античную и средневековую датировку? Попробуем разобраться.

Посмотрим, насколько М.Л. Городецкому удалось разобраться в этом вопросе. Античная датировка по Арктуру действительно может быть получена, если ее определить по методу взаимных расстояний. В этом методе, датировка определяется сравнением углового расстояния между быстрой звездой и звездой окрестности, и определении даты, когда расчетное расстояние между звездами соответствует расстоянию в звездном каталоге. В работе [6] А.К. Дамбис и Ю.Н. Ефремов с помощью метода взаимных расстояний датируют каталог по Арктуру 50 годом с погрешностью ±270 лет. Хотя этот результат в пределах погрешности и соответствует датировке по широтам +590 год ±330 лет и датировке по методу широтных невязок +740 ±265, центр датировки почему-то значительно смещен, а погрешность метода самая низкая. В этом необходимо разобраться.

Арктур обладает значительным собственным движением 2.28"/год, которое практически полностью приходится на широтную компоненту 2.27"/год. Из теоремы Пифагора не сложно определить, что собственная скорость Арктура по долготе составляет около 0.02" год, поэтому за тысячелетие он проходит по долготе расстояние менее половины угловой минуты. Таким образом, можно считать Арктур неподвижной по долготе звездой.
Первая странность, которая бросается в глаза состоит в том, что погрешность датировки, которую получают А.К. Дамбис и Ю.Н. Ефремов оказывается меньше, чем в методе широтных невязок и в методе датировки по широтам, где используется только одна координата звезды, а не две. Получается удивительная ситуация. Арктур движется практически точно по широте, мы добавляем в расчет еще одну координату, долготу, которая измерена с неизвестной погрешностью, собственная скорость звезды при переходе от скорости по проекции к полной скорости практически не возрастает, но погрешность метода уменьшается! Возникает естественное предположение, что А.К. Дамбис и Ю.Н. Ефремов неправильно определили погрешность датировки для этой звезды.

Добавление в датировку долготы, по которой Арктур практически неподвижен, почему-то приводит к существенному удревнению датировки. Для выяснения ситуации, определим долготу Арктура и звезд из его окрестности на эпоху Птолемея.

Групповая ошибка окрестности Арктура по долготе составляет 80' при подсчете по среднему и по медианам, а индивидуальная ошибка Арктура по долготе составляет +48', что на половину градуса(!) отличается от ошибки окрестности. Получается, что Арктур действительно "идет не в ногу" с окрестностью, но не по широте, а по долготе. Именно ошибка относительно окружения в 32' по долготе и приводит к значительному удревнению датировки до начала 1-ого тысячелетия. Если компенсировать эту ошибку в долготе, то по ближайшему окружению немедленно будет получена средневековая дата.

Казалось бы, ситуация с Арктуром предельно ясна - ошибка в долготе относительно ближайших звезд окружения приводит и к удревнению датировки, и к увеличению погрешности датировки. Но как оказалось, чудеса продолжаются. Оказывается, добавление лишней координаты при неизменной скорости звезды приводит к .... снижению погрешности датировки!

Для того чтобы оценить погрешность расстояния, просто его посчитаем для 104 г. н.э. составив все возможные 66 пар. Получим 14.6'. Теперь надо все оценки по разным кривым усреднить, но так как в каждую оценку входят координаты Арктура, усредняться будут только погрешности координат звезд окружения, и следовательно итоговая погрешность будет чуть больше, чем примерно в корень из 2-х уменьшенная единичная оценка. Окончательно получаем датировку: 100±260 лет.

Очевидно, что М.Л. Городецкий получает явно заниженное значение погрешности. Весь фокус основан на том, что долгота Аркутра просто исключена из рассмотрения, хотя она не изменяется относительно звезд окружения даже за тысячелетие и ничто не мешает эту ошибку учесть. Если честно добавить в расчет координаты Арктура, то долготная ошибка немедленно скажется на 9 из 11 парах сравнения, поскольку из отобранных автором звезд только β и μ Волопаса имеют только такие же долготные ошибки что и Арктур.

Относительные координаты ярких звезд в созвездиях, как я и утверждал, измерены лучше чем абсолютные (около 10' по каждой координате), что понятно — после фиксации армиллярной сферы с некоторой погрешностью с помощью опорной звезды, в координатах которой заключены свои погрешности, дальнейшие измерения координат проводятся по простой и единообразной процедуре.

Вполне возможно, это утверждение выполняется "в среднем" на многих звездах, но это никак не относится к индивидуальной ошибке в долготе Арктура, которую никто не мешал автору определить.

Подведем итог датировки по Арктуру. А.К. Дамбис, Ю.Н. Ефремов и М.Л. Городецкий правы в том, что если использовать метод взаимных расстояний, то по ближайшему окружению Арктура действительно можно получить датировку временем Птолемея. Однако, эта датировка держится только на явной ошибке в долготе Арктура в 32' относительно звезд окрестности, причем именно по этой координате собственная скорость звезды близка к нулю. Добавление дополнительной координаты при неизменной скорости звезды, приводит только к ухудшению погрешности датировки, поэтому для звезд полное движение, которых совпадает с одной из координат, для увеличения точности, необходимо проводить датировку только по одной координате. Все три автора ошибочно занижают погрешность датировки в методе взаимных расстояний, которая на самом деле окажется в 1.5-2 раза выше заявленной.

1. М.Л. Городецкий Звездные войны с историей.
2. В.В. Калашников, Г.В. Носовский, А.Т. Фоменко Датировка звёздного каталога «Альмагеста». Статистический и геометрический анализ, Москва Факториал, 1995
3. Программа М.Л. Городецкого "table".
4. С. Peters, Е. Knobel Ptolemy's сatalogue of stars a revision of the Almagest // Washington, 1915.
5. Звездный каталог Альмагест на страничке А.И. Захарова.
6. А.К. Дамбис, Ю.Н. Ефремов Датировка звездного каталога Птолемея по собственным движениям: тысячелетняя проблема решена.